掷n个骰子点数的概率分布

求n个骰子和为s的概率

Gossip

前几周偶然和同学聊起依图的面试，说起面试官提出了一个问题：投掷N个均匀的骰子，请求出最后点数之和为S的概率。联系到概率论的知识，先把问题抽象一下，随机变量$X$的概率分布如下:

$n$个随机变量$X_1,X_2,\cdots.X_n$均服从$X$的概率分布且相互独立，求随机变量$S=X_1+X_2+\cdots+X_n$的概率分布。显然$S$的取值介于$n$到$6n$之间，但是$S$是一个离散的随机变量，这是一个可加序列。我们先来看看2个骰子的情况，如果把$X_1$和$X_2$分别作为二维坐标系的轴，我们可以画出下面的图

11条斜线代表着$X_1+X_2$的等值线，直线的截距即为2个骰子时的$S$，统计下每条直线上的点，得到的分布如下:

同样，再试试3个骰子的情况，在三维的空间下用$X_1,X_2,X_3$来作为三个坐标轴，画出图形

图中橙色的平面为$X_1+X_2+X_3=9$，散点即为各种投掷结果。从图中也可以看出，在3个骰子情况下，用图解统计的方法去解决已经有些吃力了。

于是不得不从另一个角度去看，考虑$\mathrm{P}(S=n)$，很显然，这种情况下每次投掷都是1，所以概率为$\frac1{6^n}$，相对地，$\mathrm{P}(S=6n)$也是一样。由此我们大概能知道$S$的分布是对称的。如果再试着写一下$S=n$后面的一个概率，大概能得到下面的式子:

因为$S=n+1$时就是$n-1$个一点和$1$个二点，这种情况一共有$C_n^1$种。对于$S=n+2$的情况，就更复杂一点，$n-2$个一点和$2$个二点，或者$n-1$个一点和$1$个三点。问题到这里我们大概能看到，这个问题其实是一个寻找排列组合的问题。

Solution

对于$n\le k\le 6n$，$\mathrm{P}(S_n=k)$(其中$S_n=k$表示$n$个骰子点数之和为$k$)可以进行分解如下：

若$k-i<n-1​$或$k-i>6n-6​$，则$\mathrm{P}(S_{n-1}=k-i)=0​$。运用动态规划的方法，递归地计算，分配一个数组来存储中间变量，可以大大减少计算的时间。至于更高级的数学解法，还是等着抛砖引玉了。